Рассмотрим в качестве примера применения выведенных формул движение тела, брошенного под углом к горизонту в отсутствии сопротивления воздуха. Скажем, на горе, на высоте над уровнем моря стоит пушка, охраняющая прибрежные воды. Пусть снаряд выпускается под углом к горизонту с начальной скоростью из точки , положение которой определяется радиус-вектором (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Дополнение.
Вывод уравнений движения материальной точки в поле силы тяжести
Напишем уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона):
это означает, что тела - материальные точки - любых масс при одних и тех же начальных условиях будут двигаться в однородном поле тяжести одинаково. Спроектируем уравнение (2.7.2) на оси декартовой системы координат. Горизонтальная ось ОХ показана на рис. 13 пунктиром, ось OY проведем через точку О вертикально вверх, а горизонтальную ось OZ , также проходящую через точку О , направим перпендикулярно вектору на нас. Получаем:
Вертикальным направлением, по определению, называется направление вектора , поэтому его проекции на горизонтальные оси OX и OY равны нулю. Во втором уравнении учтено, что вектор направлен вниз, а ось OY - вверх.
Рис. 2.17. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Добавим к уравнениям движения начальные условия, которые определяют положение и скорость тела в начальный момент времени t 0 , пусть t 0 = 0 . Тогда, согласно рис. 2.7.4
Если производная некоторой функции равна нулю, то функция постоянна, соответственно из первого и третьего уравнений (2.7.3) получаем:
Во втором уравнении (2.7.3) производная равна константе, откуда следует, что функция зависит от своего аргумента линейно, то есть
Объединяя (2.7.7) и (2.7.9), получаем окончательные выражения для зависимостей проекций скорости на оси координат от времени:
Третье уравнение (2.7.11) показывает, что траектория тела плоская, целиком лежит в плоскости XOY , это вертикальная плоскость, определяемая векторами и . Очевидно, что последнее утверждение общее: как бы ни были выбраны направления осей координат, траектория тела брошенного под углом к горизонту плоская, она всегда лежит в плоскости, определяемой вектором начальной скорости и вектором ускорения свободного падения .
Если три уравнения (2.7.10) умножить на орты осей , , и и сложить, а потом то же самое проделать с тремя уравнениями (2.7.11), то мы получим зависимости от времени вектора скорости частицы и её радиус вектора. С учетом начальных условий имеем:
Формулы (2.7.12) и (2.7.13) можно было получить сразу, непосредственно из (2.7.2), если учесть, что ускорение свободного падения есть постоянный вектор. Если ускорение - производная от вектора скорости - постоянно, то вектор скорости зависит от времени линейно, а радиус-вектор, производная по времени от которого и есть линейно зависящий от времени вектор скорости, зависит от времени квадратично. Это и записано в соотношениях (2.7.12) и (2.7.13) с константами - постоянными векторами - подобранными соответственно начальным условиям в форме (2.7.4).
Из (2.7.13) в частности видно, что радиус-вектор является суммой трех векторов, складывающихся по обычным правилам, что наглядно показано на рис. 2.18.
Рис. 2.18. Представление радиус-вектора r(t) в произвольный момент времени t в виде суммы трех векторов
Эти векторы представляют собой:
Здесь отчетливо проявляется принцип независимости движений, известный в других областях физики как принцип суперпозиции (наложения). Вообще говоря, согласно принципу суперпозиции результирующий эффект нескольких воздействий представляет собой сумму эффектов от каждого воздействия в отдельности. Он является следствием линейности уравнений движения.
Видео 2.3. Независимость горизонтального и вертикального перемещений при движении в поле тяжести.
Поместим начало отсчета в точку бросания. Теперь =0 , оси, как и ранее, развернем так, чтобы ось 0x была горизонтальной, ось 0у - вертикальной, а начальная скорость лежала в плоскости х0у (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Проекции начальной скорости на координатные оси
Спроецируем на оси координат (см.(2.7.11)):
Траектория полета . Если из системы полученных уравнений исключить время t , то получим уравнение траектории:
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.
Дальность полета при стрельбе с высоты h . В момент падения тела (снаряд попадает в цель, находящуюся на поверхности моря). Расстояние по горизонтали от пушки до цели равно при этом . Подставляя ; в уравнение траектории, получаем квадратное уравнение для дальности полета :
У квадратного уравнения имеется два решения (в данном случае - положительное и отрицательное). Нам нужно положительное решение. Стандартное выражение для корня квадратного уравнения нашей задачи может быть приведено к виду:
достигается при , если h = 0 .
Максимальная дальность полета . При выстреле с горы высотой это уже не так. Найдем угол , при котором достигается максимальная дальность полета. Зависимость дальности полета от угла достаточно сложна, и вместо дифференцирования для нахождения максимума мы поступим следующим образом. Представим себе, что мы увеличиваем начальный угол . Сначала дальность полета растет (см. формулу (2.7.15)), достигает максимального значения и снова начинает падать (до нуля при выстреле вертикально вверх). Таким образом, для каждой дальности полета, кроме максимальной, соответсвует два направления начальной скорости.
Обратимся снова к квадратному уравнению относительности дальности полета и рассмотрим его как уравнение для угла . Учитывая, что
перепишем его в виде:
Мы снова получили квадратное уравнение, на этот раз - для неизвестной величины . Уравнение имеет два корня, что соответствует двум углам, при которых дальность полета равна . Но когда , оба корня должны совпасть. Это означает, что равен нулю дискриминант квадратного уравнения:
откуда следует результат
При этот результат воспроизводит формулу (2.7.16)
Обычно высота много меньше дальности полета на равнине. При квадратный корень может быть аппроксимирован первыми членами разложения в ряд Тейлора и мы получаем приближенное выражение
то есть дальность выстрела увеличивается примерно на высоту подъема пушки.
Когда l = l max , и a = a max , как уже отмечалось, дискриминант квадратного уравнения равен нулю, соответственно, его решение имеет вид:
Поскольку тангенс меньше единицы, угол, при котором достигается максимальная дальность полета, меньше .
Максимальная высота подъёма над начальной точкой. Эта величина может быть определена из равенства нулю вертикальной составляющей скорости в верхней точке траектории
При этом горизонтальная составляющая скорости не равна нулю, поэтому
До конца финального матча баскетбольного турнира Олимпиады в Мюнхене 1972-ого года оставалось 3 секунды. Американцы – сборная США — уже во всю праздновали победу! Наша команда – сборная СССР – выигрывала около 10-и очков у великой dream Team...
За несколько минут до окончания матча. Но, растеряв в концовке все преимущество, уже уступала одно очко 49:50. Дальше произошло невероятное! Иван Едешко бросает мяч из-за лицевой линии через всю площадку под кольцо американцев, где наш центровой Александр Белов принимает мяч в окружении двух соперников и вкладывает его в корзину. 51:50 – мы олимпийские чемпионы!!!
Я, будучи тогда ребенком, испытал сильнейшие эмоции – сначала разочарование и обиду, затем сумасшедший восторг! Эмоциональная память об этом эпизоде врезалась в мое сознание на всю жизнь! Посмотрите видео в Интернете по запросу «золотой бросок Александра Белова», не пожалеете.
Американцы тогда не признали поражения и отказались от получения серебряных медалей. Возможно ли за три секунды сделать то, что совершили наши игроки? Вспомним физику!
В этой статье мы рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, составим в Excel программу решения этой задачи при различных сочетаниях исходных данных и попытаемся ответить на поставленный выше вопрос.
Это достаточно широко известная задача в физике. В нашем случае тело, брошенное под углом к горизонту – это баскетбольный мяч. Мы рассчитаем начальную скорость, время и траекторию полета мяча, брошенного через всю площадку Иваном Едешко и попавшего в руки Александра Белова.
Математика и физика полета баскетбольного мяча.
Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.
Расчетная схема представлена на рисунке, расположенном ниже. Запускаем программу MS Excel или OOo Calc.
Исходные данные:
1. Так как мы находимся на планете Земля и рассматриваем баллистическую задачу – движение тел в поле тяжести Земли, то первым делом запишем основную характеристику гравитационного поля – ускорение свободного падения g в м/с 2
в ячейку D3: 9,81
2. Размеры баскетбольной площадки – 28 метров длина и 15 метров ширина. Расстояние полета мяча почти через всю площадку до кольца от противоположной лицевой линии по горизонтали x в метрах впишем
в ячейку D4: 27,000
3. Если принять, что бросок Едешко совершил с высоты около двух метров, а Белов поймал мяч как раз где-то на уровне кольца, то при высоте баскетбольного кольца 3,05 метра расстояние между точками вылета и прилета мяча составит по вертикали 1 метр. Запишем вертикальное перемещение y в метрах
в ячейку D5: 1,000
4. По моим замерам на видеозаписи угол вылета мяча α 0 из рук Едешко не превышал 20°. Введем это значение
в ячейку D6: 20,000
Результаты расчетов:
Основные уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха:
x =v 0 *cosα 0 *t
y =v 0 *sinα 0 *t -g *t 2 /2
5. Выразим время t из первого уравнения, подставим во второе и вычислим начальную скорость полета мяча v 0 в м/с
в ячейке D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАНЫ(D6))^2/(D4*TAN (РАДИАНЫ (D6)) -D5))^0,5 =21,418
v 0 =(g *x 2 /(2*(cos α 0 ) 2 *(x *tg α 0 -y )) 0,5
6. Время полета мяча от рук Едешко до рук Белова t в секундах рассчитаем, зная теперь v 0 , из первого уравнения
в ячейке D9: =D4/D8/COS (РАДИАНЫ(D6)) =1,342
t = x /(v 0 * cos α 0 )
7. Найдем угол направления скорости полета мяча α i в интересующей нас точке траектории. Для этого исходную пару уравнений запишем в следующем виде:
y =x *tg α 0 -g *x 2 /(2* v 0 2 *(cos α 0 ) 2)
Это уравнение параболы – траектории полета.
Нам необходимо найти угол наклона касательной к параболе в интересующей нас точке – это и будет угол α i . Для этого возьмем производную, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной:
y’ =tg α 0 -g *x /(v 0 2 *(cos α 0 ) 2)
Рассчитаем угол прилета мяча в руки Белова α i в градусах
в ячейке D10: =ATAN (TAN (РАДИАНЫ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАНЫ (D6))^2)/ПИ()*180 =-16,167
α i = arctg y ’ = arctg (tg α 0 — g * x /(v 0 2 *(cos α 0 ) 2))
Расчет в excel, в принципе, закончен.
Иные варианты расчетов:
Используя написанную программу, можно быстро и просто при других сочетаниях исходных данных произвести вычисления.
Пусть, даны горизонтальная x = 27 метров, вертикальная y = 1 метр дальности полета и начальная скорость v 0 = 25 м/с.
Требуется найти время полета t и углы вылета α 0 и прилета α i
Воспользуемся сервисом MS Excel «Подбор параметра». Я неоднократно в нескольких статьях блога подробно рассказывал, как им пользоваться. Детальнее об использовании этого сервиса можно почитать .
Устанавливаем в ячейке D8 значение 25,000 за счет изменения подбором значения в ячейке D6. Результат на рисунке внизу.
Исходные данные в этом варианте расчета в excel (как, впрочем, и в предыдущем) выделены синими рамками, а результаты обведены красными прямоугольными рамками!
Устанавливая в таблице Excel некоторое интересующее значение в одной из ячеек со светло-желтой заливкой за счет подбора измененного значения в одной из ячеек со светло-бирюзовой заливкой, можно получить в общем случае десять различных вариантов решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту при десяти разных наборах исходных данных!!!
Ответ на вопрос:
Ответим на вопрос, поставленный в начале статьи. Мяч, посланный Иваном Едешко, долетел до Белова по нашим расчетам за 1,342с. Александр Белов поймал мяч, приземлился, подпрыгнул и бросил. На все это у него было «море» времени – 1,658с! Это действительно достаточное с запасом количество времени! Детальный просмотр по кадрам видеозаписи подтверждает вышесказанное. Нашим игрокам хватило трех секунд, чтобы доставить мяч от своей лицевой линии до щита соперников и забросить его в кольцо, вписав золотом свои имена в историю баскетбола!
Прошу уважающих труд автора скачивать файл после подписки на анонсы статей!
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Основные формулы криволинейного движения
1 . Скорость движения материальной точки
\(\vec V=\frac{d\vec r}{dt}\) ,
где \(\vec r\) - радиус-вектор точки.
2 . Ускорение материальной точки
\(\vec a=\frac{d\vec V}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}\) ,
\(a=\sqrt{a^2_{\tau}+a^2_n}\) ,
где \(a_{\tau}\) - тангенциальное ускорение, \(a_n\) - нормальное ускорение.
3 . Тангенциальное ускорение
\(a_{\tau}=\frac{dV}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\)
4 . Нормальное ускорение
\(a_n=\frac{V^2}{R}\) ,
где \(R\) - радиус кривизны траектории.
5 . для равнопеременного движения
\(S=V_0t+\frac{at^2}{2}\)
\(V=V_0+at\)
Выразив из второго равенства \(t\) и подставив в первое, получим полезную формулу
\(2aS=V^2-V_0^2\)
Примеры решения задач
В задачах о движении тела в поле силы тяжести будем полагать \(a=g=9.8\) м/с 2 .
Задача 1.
Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью 490 м/с под углом 30 0 к горизонту. Найти высоту, дальность и время полета снаряда, не учитывая его вращение и сопротивление воздуха.
Решение задачи
Найти: \(h, S, t\)
\(V_0=490\) м/с
\(\alpha=30^0\)
Свяжем ИСО с орудием.
Составляющие скорости по осям Ox и Oy в начальный момент времени равны:
\(V_{0x}=V_0\cos\alpha\) - остается неизменной во все время полета снаряда,
\(V_{0y}=V_0\sin\alpha\) - меняется согласно уравнению равнопеременного движения
\(V_y=V_0\sin\alpha-gt\) .
В наивысшей точке подъема \(V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0\) , откуда
\(t_1=\frac{V_0\sin\alpha}{g}\)
Полное время полета снаряда
\(t=2t_1=\frac{2V_0\sin\alpha}{g}=50\) c.
Высоту подъема снаряда определим из формулы пути равно замедленного движения
\(h=V_{0y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}=3060\) м.
Дальность полета определим как
\(S=V_{0x}t=\frac{V_0^2\sin{2\alpha}}{g}=21000\) м.
Задача 2 .
Из точки А свободно падает тело. Одновременно из точки В под углом \(\alpha\) к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе. Показать, что угол \(\alpha\) не зависит от начальной скорости \(V_0\) тела, брошенного из точки В, и определить этот угол, если \(\frac{H}{S}=\sqrt3\) . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение задачи.
Найти: \(\alpha\)
Дано: \(\frac{H}{S}=\sqrt3\)
Свяжем ИСО с точкой В.
Оба тела могут встретиться на линии ОА (см. рис.) в точке С. Разложим скорость \(V_0\) тела, брошенного из точки В, на горизонтальную и вертикальную составляющие:
\(V_{0x}=V_0\cos\alpha\) ; \(V_{0y}=V_0\sin\alpha\) .
Пусть от начала движения до момента встречи пройдет время
\(t=\frac{S}{V_{0x}}=\frac{S}{V_0\cos\alpha}\) .
За это время тело из точки А опуститься на величину
\(H-h=\frac{gt^2}{2}\) ,
а тело из точки В поднимется на высоту
\(h=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=V_0\sin\alpha{t}-\frac{gt^2}{2}\) .
Решая последние два уравнения совместно, находим
\(H=V_0\sin\alpha{t}\) .
Подставляя сюда ранее найденное время, получим
\(\tan\alpha=\frac{H}{S}=\sqrt3\) ,
т.е. угол бросания не зависит от начальной скорости.
\(\alpha=60^0\)
Задача 3.
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 40 м/с. Какова скорость тела через 3 с после начала движения? Какой угол образует с плоскостью горизонта вектор скорости тела в этот момент?
Решение задачи.
Найти: \(\alpha\)
Дано: \(V_0=40\) м/с. \(t=3\) c.
Свяжем ИСО с башней.
Тело одновременно участвует в двух движениях: равномерно в горизонтальном направлении со скоростью \(V_0\) и в свободном падении со скоростью \(V_y=gt\) . Тогда полная скорость тела есть
\(V=\sqrt{V_0^2+g^2t^2}=50 м/с.\)
Направление вектора скорости определяется углом \(\alpha\) . Из рисунка видим, что
\(\cos\alpha=\frac{V_0}{V}=\frac{V_0}{\sqrt{V_0^2+g^2t^2}}=0.8\)
\(\alpha=37^0\)
Задача 4.
Два тела брошены вертикально вверх из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным \(\Delta{t}\) , с одинаковыми скоростями \(V_0\) . Через какое время \(t\) после бросания первого тела они встретятся?
Решение задачи.
Найти: \(t\)
Дано: \(V_0\) , \(\Delta{t}\)
Из анализа условия задачи, ясно, что первое тело поднимется на максимальную высоту и на спуске встретится со вторым телом. Запишем законы движения тел:
\(h_1=V_0t-\frac{gt^2}{2}\)
\(h_2=V_0(t-\Delta{t})-\frac{g(t-\Delta{t})^2}{2}\) .
В момент встречи \(h_1=h_2\) , откуда сразу получаем
\(t=\frac{V_0}{g}+\frac{\Delta{t}}{2}\)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, расположив тело в момент бросания в начало координат, как это изображено на рисунке 1.
В отсутствии сил сопротивления, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как частный случай криволинейного движения под действием силы тяжести. Применяя 2 - ой закон Ньютона
∑ F i |
||||||||||
получаем |
||||||||||
mg = ma , |
||||||||||
a = g |
||||||||||
Проекции вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ равны: |
||||||||||
= −g |
||||||||||
где g = const - это |
ускорение свободного падения, |
которого всегда |
||||||||
направлен вертикально вниз, |
численное значение g = 9,8м/с2 ; |
= −g |
т.к. ось ОУ на |
|||||||
рисунке 1 направлена вверх, в случае, когда ось OY направлена вниз, то проекция вектора
2 a на ось ОУ будет положительна (читая условия задач, выбирайте сами направление осей, если это не прописано в условии).
Значения проекций вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ дают основание сделать
следующий вывод:
∙ тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно участвует в двух движениях - равномерном по горизонтали и равнопеременном по
вертикали. |
||||||
Скорость тела в таком случае |
||||||
V = Vx + Vy |
||||||
Скорость тела в начальный момент времени (в момент бросания тела) |
||||||
V 0 = V 0 x |
V 0 y . |
|||||
Проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны |
||||||
V cosα |
||||||
V 0 y |
V 0 sin α |
Для равнопеременного движения зависимости скорости и перемещения от времени задаются уравнениями:
V 0 + at |
||||||||||||
S 0 + V 0 t + |
||||||||||||
и S 0 - это скорость и перемещение тела в начальный момент времени, |
||||||||||||
и S t - это скорость и перемещение тела в момент времени t. |
||||||||||||
Проекции векторного уравнения (8) на оси ОХ и ОУ равны |
||||||||||||
V 0 x |
Ax t , |
|||||||||||
V ty = V 0 y + a y t |
Const |
||||||||||||||||
V 0 y - gt |
||||||||||||||||
Проекции векторного уравнения (9) на оси ОХ и ОУ равны |
||||||||||||||||
S ox + V ox t + |
||||||||||||||||
a y t 2 |
||||||||||||||||
S 0 y |
V oy t + |
|||||||||||||||
с учетом равенств (4), получаем |
||||||||||||||||
S 0 y |
V oy t - |
gt 2 |
||||||||||||||
где Sox и Soy - |
координаты тела |
в начальный момент времени, |
а Stx и Sty - |
координаты тела в момент времени t.
За время своего движения t (от момента бросания до момента падения на тот же
уровень) тело поднимается на максимальную высоту hmax , спускается с неё и отлетает от места бросания на расстояние L (дальность полета) - см. рисунок 1.
1) Время движения тела t можно найти, учитывая значения координат тела Sy в
Soy = 0, Sty = 0, |
подставив значения Voy и (14) во второе уравнение системы (13), получаем
2) Дальность полета L можно найти, учитывая значения координат тела Sх в
начальный момент времени и в момент времени t (см. рис.1)
Soх = 0, Stх = L, |
подставив значения Vox и (17) в первое уравнение системы (13), получаем
L = V 0 cosα × t , |
|||||||||||
откуда, с учетом (16), получаем |
|||||||||||
L = V cosα × |
2V sin α |
||||||||||
3) Максимальную высоту подъёма тела h max можно найти, учитывая значение
скорости тела V в точке максимального подъёма тела
V 0 x |
Т.к. в этой точке V y |
|||||||||||||||
Используя вторые уравнения систем (11) и (13) , |
значение Voу , а также тот факт, |
|||||||||||||||
что в точке максимального подъёма тела Sy = hmax , получаем |
||||||||||||||||
0 = V 0 sin α - g × t под |
||||||||||||||||
gt под2 |
||||||||||||||||
V 0 sin α × t - |
||||||||||||||||
h max |
||||||||||||||||
где tпод - время подъёма - время движения на высоту максимального подъёма тела. |
||||||||||||||||
Решая эту систему, получаем |
||||||||||||||||
t под = |
V 0 sin α |
|||||||||||||||
sin 2 α |
||||||||||||||||
Сравнение значений (16) и (22), даёт основание сделать вывод
· время движения на высоту максимального подъёма тела (t под ) равно времени спуска тела (tсп ) с этой высоты и равно половине времени всего движения тела от момента бросания до момента падения на тот же уровень
t под |
T сп |
|||||
Изучать движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, очень наглядно на компьютерной модели
"Свободное падение тел" в сборнике компьютерных моделей "Открытая физика"
компании ФИЗИКОН. В этой модели можно задавать разные начальные условия.
Например, рассмотренный нами случай нужно задавать (команда "Очистить") при начальном условии h = 0 и выбранных V0 и α. Команда "Старт" продемонстрирует движение тела и даст картинку траектории движения и направление векторов скорости тела в фиксированные моменты времени.
Рис.2. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе
"Механика"; тело движется из точки начала координат и падает на том же уровне .
Если условие задачи отличается от рассмотренного нами случая, то необходимо
для решения задачи, выбрав направление осей, разместить тело в начальный момент
времени, изобразить траекторию движения тела до точки падения, таким образом
определив координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Затем
использовать уравнения (3), (5), (8) и (9) как основу для решения и рассмотренный выше
алгоритм решения задачи.
Рассмотрим частные случаи.
6 1. Тело бросили со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к
горизонту, с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. y в начальный
Soy = h, |
а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали.
Рис.3. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе
"Механика"; тело движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .
2. Тело бросили горизонтально со скоростью V 0 , с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. Отличие от рассмотренного нами случая заключается в том, значения координат тела S y в начальный момент определится так же уравнением (25),
а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали. Но в этом случае начальная скорость тела в проекции на ось ОУ равна нулю (так как α = 0), т.е.
проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны
V 0 y |
Рис.4. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе
"Механика"; тело, брошенное горизонтально, движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .
Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью \(~\vec \upsilon_0\). Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox \[~\upsilon_{0y} = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_{0x} = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Проекции ускорения: g x = 0; g y = -g .
Тогда движение тела будет описываться уравнениями:
\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2}; \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)
Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), а в вертикальном - равноускоренно.
Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы υ y = 0, можно найти время t 1 подъема тела до верхней точки параболы:
\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g}. \qquad (5)\)
Подставив значение t 1 в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:
\(~h_{max} = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac{\upsilon_0 \sin \alpha}{g} - \frac{g}{2} \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{g^2},\) \(~h_{max} = \frac{\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha}{2g}\) - максимальная высота подъема тела.
Время полета тела находим из условия, что при t = t 2 координата y 2 = 0. Следовательно, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac{gt^2_2}{2} = 0\). Отсюда, \(~t_1 = \frac{2 \upsilon_0 \sin \alpha}{g}\) - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что t 2 = 2 t 1 . Время движения тела с максимальной высоты t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени t 2 , найдем:
\(~l = \frac{2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha}{g} = \frac{\upsilon^2_0 \sin 2\alpha}{g}\) - дальность полета тела.
Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле
\(~\upsilon = \sqrt{\upsilon^2_x + \upsilon^2_y} = \sqrt{\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)} = \sqrt{\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2} .\)
Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 16-17.